-lsb- -lsb- imagen : 999 perspective.png -pipe- 300px -pipe- right -rsb- -rsb- ' "0,9 periódico " ' -lrb- 0,999 … , donde el dígito 9 se repite indefinidamente -rrb- , también escrito como < math > 0 , \ bar9 < / math > , < math > 0 , \ dot9 < / math > ó 0 , -lrb- 9 -rrb- , denota un -lsb- -lsb- número real -rsb- -rsb- igual a -lsb- -lsb- uno -pipe- 1 -rsb- -rsb- .
es decir , las notaciones " 0,999 ... " y " 1 " representan el mismo número real .
aunque aparentemente contradictoria , esta igualdad es válida y se pueden proporcionar demostraciones con diferentes grados de -lsb- -lsb- rigor -rsb- -rsb- y tiene su origen en que la representación decimal de un número real no es necesariamente única .
<p>
el hecho de que existen expansiones reales como 0,999 ... no se limita al -lsb- -lsb- sistema decimal -rsb- -rsb- .
el mismo fenómeno ocurre en todas las -lsb- -lsb- base -pipe- bases -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- número entero -pipe- enteras -rsb- -rsb- , y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en -lsb- -lsb- representación no entera -pipe- bases no enteras -rsb- -rsb- .
ni siquiera se trata de un fenómeno aislado a 1 : todos los decimales terminales distintos de cero de un número real tienen un gemelo con infinitos nueves , como por ejemplo 28,3287 y 28,3286999 … .
<p>
= = argumentos no formales = = a continuación se comentan tres argumentos no formales para ilustrarlo y una -lsb- -lsb- demostración matemática -rsb- -rsb- que lo prueba .
<p>
-lcb- -pipe- class = " infobox " style = " padding : .5em ; border : 1px solid # ccc " align = " right " cellpadding = " 0 " cellspacing = " 0 " -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 0.333 … -pipe- -pipe- & nbsp ; = < sup > 1 < / sup > ⁄ < sub > 3 < / sub > -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 3 × 0.333 … -pipe- -pipe- & nbsp ; = 3 × < sup > 1 < / sup > ⁄ < sub > 3 < / sub > -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 0.999 … -pipe- -pipe- & nbsp ; = 1 -pipe- -rcb- = = = multiplicación de 1/3 = = = * partiendo de que 1/3 = 0,333 … * multiplicando por 3:3 × -lrb- 1/3 -rrb- = 3 × 0,333 … = 0,999 … * pero entonces 0,999 … debe ser forzosamente 1 , puesto que -lrb- 1/3 -rrb- × 3 = 1 .
<br clear="all" />
-lcb- -pipe- class = " infobox " style = " padding : .5em ; border : 1px solid # ccc " align = " right " cellpadding = " 0 " cellspacing = " 0 " -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- ' ' x " -pipe- -pipe- & nbsp ; = 0,999 … -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 10 " x " -pipe- -pipe- & nbsp ; = 9,999 … -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 10 " x " − ' ' x " -pipe- -pipe- & nbsp ; = 9,999 … − 0,999 … -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 9 " x " -pipe- -pipe- & nbsp ; = 9 -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- ' ' x " -pipe- -pipe- & nbsp ; = 1 -pipe- -rcb- = = = con ' ' x " = 0,999 … = = = * denotando por ' ' x " al número 0,999 … : ' ' x " = 0,999 … * se multiplica por 10 los dos números : 10 " x " = 9,999 … * restando ambas expresiones : 10 ' ' x " - ' ' x " = 9,999 … - 0,999 … * se concluye que 9 " x " = 9 , es decir , ' ' x " = 1 .
<br clear="all" />
-lcb- -pipe- class = " infobox " style = " padding : .5em ; border : 1px solid # ccc " align = " right " cellpadding = " 0 " cellspacing = " 0 " -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 0 , xxx … -pipe- -pipe- & nbsp ; = < sup > x < / sup > ⁄ < sub > 9 < / sub > -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 0,999 … -pipe- -pipe- & nbsp ; = < sup > 9 < / sup > ⁄ < sub > 9 < / sub > -pipe- - -pipe- align = " right " -pipe- 0,999 -pipe- -pipe- & nbsp ; = 1 -pipe- -rcb- = = = con fórmula matemática = = = * si < math > x < / math > es un número entero entre 0 y 8 , se verifica la fórmula < math > 0 , xxx \ ldots = \ frac -lcb- x -rcb- -lcb- 9 -rcb- < / math > * tomando el valor numérico de ' ' x " como 9 * se debería obtener que :
<math> 0,999 \ldots = \frac{9}{9} = 1 </math>
<br clear="all" />
= = = no existe ningún número real entre 0,999 … y 1 = = = a partir del hecho : ' ' si dos -lsb- -lsb- números reales -rsb- -rsb- son diferentes , entonces existe al menos un tercero entre los dos , diferente de éstos " .
si 0,999 … y 1 fueran diferentes , sería posible encontrar un número entre ellos , por ejemplo , la -lsb- -lsb- media aritmética -rsb- -rsb- de los dos .
ahora bien , es imposible intercalar ningún número entre 0,999 … y 1 , y por tanto deben ser iguales .
<p>
= = demostración formal = = la siguiente exposición es una prueba formal a detalle , aunque debido a que 0,999 … es una suma con un número infinito de términos , su evaluación rigurosa requiere de forma necesaria un concepto de cálculo infinitesimal : -lsb- -lsb- límite matemático -pipe- límite -rsb- -rsb- .
<p>
por definición de representación decimal : -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > 0,999 \ ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + \ cdots = \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots < / math > -rcb- -rcb- que es una -lsb- -lsb- serie geométrica -rsb- -rsb- -lrb- de primer término ' ' a " = 9/10 y razón ' ' k " = 1/10 -rrb- : -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots = \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- \ left -lrb- 1 + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots \ right -rrb- < / math > -rcb- -rcb-
<p>
de esta manera , hace falta calcular el valor de la serie geométrica -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > \ left -lrb- 1 + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots \ right -rrb- < / math > . -rcb- -rcb-
<p>
a partir de la factorización -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > x ^ -lcb- n + 1 -rcb- - 1 = -lrb- x-1 -rrb- -lrb- x ^ -lcb- n -rcb- + x ^ -lcb- n-2 -rcb- + \ cdots + x + 1 -rrb- < / math > -rcb- -rcb- se tiene para < math > x \ ne 1 < / math > -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots + x ^ -lcb- n -rcb- = \ frac -lcb- x ^ -lcb- n + 1 -rcb- -1 -rcb- -lcb- x-1 -rcb- = \ frac -lcb- 1-x ^ -lcb- n + 1 -rcb- -rcb- -lcb- 1-x -rcb- < / math > , -rcb- -rcb- y en particular , cuando < math > -pipe- x -pipe- < 1 < / math > , el término < math > x ^ -lcb- n + 1 -rcb- < / math > tiende a cero , situación en la que la serie geométrica se puede evaluar : -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots = \ lim _ -lcb- n \ to \ infty -rcb- -lrb- 1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ n -rrb- = \ lim _ -lcb- n \ to \ infty -rcb- \ frac -lcb- 1-x ^ -lcb- n + 1 -rcb- -rcb- -lcb- 1-x -rcb- = \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 1-x -rcb- < / math > . -rcb- -rcb-
<p>
retornando a 0,999 … encontramos que la serie geométrica con razón 1/10 se evalúa : -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > \ left -lrb- 1 + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots \ right -rrb- = \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 1- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 -rcb- -rcb- = \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- -rcb- = \ frac -lcb- 10 -rcb- -lcb- 9 -rcb- < / math > -rcb- -rcb- y por tanto -lcb- -lcb- ecuación -pipe- < math > 0,999 \ ldots = \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- \ left -lrb- 1 + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 2 -rcb- + \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- 10 ^ 3 -rcb- + \ cdots \ right -rrb- = \ left -lrb- \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 10 -rcb- \ right -rrb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 10 -rcb- -lcb- 9 -rcb- \ right -rrb- = 1 < / math > . -rcb- -rcb-
<p>
como se quería demostrar .
<p>
una demostración similar -lrb- en realidad que 10 equivale a 9,999 … -rrb- aparece ya en el año -lsb- -lsb- 1770 -rsb- -rsb- en el libro " -lsb- -lsb- elementos de álgebra -rsb- -rsb- " -lrb- ' ' vollständige anleitung zur algebra " -rrb- de -lsb- -lsb- leonhard euler -rsb- -rsb- . < ref > euler , p.243 de ' ' vollständige anleitung ... " -lrb- apartado 537 -rrb- < / ref >
<p>
= = generalización = = la prueba de que < math > 0,9999 \ ldots < / math > en base 10 es exactamente 1 , se puede generalizar para cualquier base no necesariamente 10 .
<p>
en base < math > n + 1 < / math > el número < math > 0 , nnnnnnn \ ldots < / math > es exactamente 1 .
<p>
se puede verificar que < math > \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- a ^ -lcb- k -rcb- = \ frac -lcb- a ^ -lcb- m + 1 -rcb- -a -rcb- -lcb- a-1 -rcb- < / math >
<p>
entonces
<p>
: < math > \ begin -lcb- array -rcb- -lcb- rcl -rcb- 0 , nnn \ ldots & = & n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -1 -rcb- + n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -2 -rcb- + n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -3 -rcb- + \ cdots \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- n \ left -lrb- m + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -k -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- n \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- m + 1 -rcb- \ right -rrb- ^ -lcb- k -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- n \ frac -lcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- ^ -lcb- m + 1 -rcb- - \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- -rcb- -lcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- -1 -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- 1- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- m -rcb- -rcb- \ \ & = & 1 \ end -lcb- array -rcb- < / math >
<p>
es decir que en -lsb- -lsb- sistema binario -pipe- binario -rsb- -rsb- < math > 0,111 \ ldots = 1 < / math > , en -lsb- -lsb- sistema octal -pipe- octal -rsb- -rsb- < math > 0,777 \ ldots = 1 < / math > , y en -lsb- -lsb- sistema decimal -rsb- -rsb- < math > 0,999 \ ldots = 1 < / math > , etc .
<p>
= = véase también = = * -lsb- -lsb- uno -rsb- -rsb- * -lsb- -lsb- número decimal periódico -rsb- -rsb-
<p>
= = referencias = = -lcb- -lcb- listaref -rcb- -rcb-
<p>
= = enlaces externos = = -lcb- -lcb- commons -pipe- 0.999 ... -rcb- -rcb-
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-lcb- -lcb- destacado -pipe- en -rcb- -rcb- -lcb- -lcb- destacado -pipe- ja -rcb- -rcb-
<p>
-lsb- -lsb- categoría : números -rsb- -rsb-
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-lcb- -lcb- bueno -pipe- zh -rcb- -rcb-
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-lcb- -lcb- destacado -pipe- zh -rcb- -rcb-
<p>
-lsb- -lsb- ar : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- be : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- be-x-old : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- bg : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- da : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- de : eins # periodischer dezimalbruch -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- el : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- en : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- eo : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- fa : ۰ ٫ ۹۹۹ … -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- fi : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- fr : développement décimal de l 'unité -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- he : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- hu : 0,999 … -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- id : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- it : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ja : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ka : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ko : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- lv : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ml : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ms : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- no : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- nov : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- pl : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- pt : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ro : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ru : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- sl : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- sv : 0,999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- ta : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- th : 0.999 ... -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- uz : 0 , -lrb- 9 -rrb- -rsb- -rsb- -lsb- -lsb- zh : 0.999 … -rsb-
