0,9 periódico -lrb- 0,999 … , donde el dígito 9 se repite indefinidamente -rrb- , también escrito como 0 , \ bar9 , 0 , \ dot9 ó 0 , -lrb- 9 -rrb- , denota un número real igual a 1 .
es decir , las notaciones " 0,999 ... " y " 1 " representan el mismo número real .
aunque aparentemente contradictoria , esta igualdad es válida y se pueden proporcionar demostraciones con diferentes grados de rigor y tiene su origen en que la representación decimal de un número real no es necesariamente única .
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el hecho de que existen expansiones reales como 0,999 ... no se limita al sistema decimal .
el mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras , y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras .
ni siquiera se trata de un fenómeno aislado a 1 : todos los decimales terminales distintos de cero de un número real tienen un gemelo con infinitos nueves , como por ejemplo 28,3287 y 28,3286999 … .
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argumentos no formales
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a continuación se comentan tres argumentos no formales para ilustrarlo y una demostración matemática que lo prueba .
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0.333 … & # 160 ; = 1 ⁄ 3 3 × 0.333 … & # 160 ; = 3 × 1 ⁄ 3 0.999 … & # 160 ; = 1 multiplicación de 1/3
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partiendo de que 1/3 = 0,333 … multiplicando por 3:3 × -lrb- 1/3 -rrb- = 3 × 0,333 … = 0,999 … pero entonces 0,999 … debe ser forzosamente 1 , puesto que -lrb- 1/3 -rrb- × 3 = 1 .
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x & # 160 ; = 0,999 … 10x & # 160 ; = 9,999 … 10x − x & # 160 ; = 9,999 … − 0,999 … 9x & # 160 ; = 9 x & # 160 ; = 1 con x = 0,999 …
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denotando por x al número 0,999 … : x = 0,999 … se multiplica por 10 los dos números : 10x = 9,999 … restando ambas expresiones : 10 x - x = 9,999 … - 0,999 … se concluye que 9x = 9 , es decir , x = 1 .
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0 , xxx … & # 160 ; = x ⁄ 9 0,999 … & # 160 ; = 9 ⁄ 9 0,999 & # 160 ; = 1 con fórmula matemática
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si x es un número entero entre 0 y 8 , se verifica la fórmula 0 , xxx \ ldots = \ frac -lcb- x -rcb- -lcb- 9 -rcb- tomando el valor numérico de x como 9 se debería obtener que : 0,999 \ ldots = \ frac -lcb- 9 -rcb- -lcb- 9 -rcb- = 1
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no existe ningún número real entre 0,999 … y 1
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a partir del hecho : si dos números reales son diferentes , entonces existe al menos un tercero entre los dos , diferente de éstos .
si 0,999 … y 1 fueran diferentes , sería posible encontrar un número entre ellos , por ejemplo , la media aritmética de los dos .
ahora bien , es imposible intercalar ningún número entre 0,999 … y 1 , y por tanto deben ser iguales .
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demostración formal
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la siguiente exposición es una prueba formal a detalle , aunque debido a que 0,999 … es una suma con un número infinito de términos , su evaluación rigurosa requiere de forma necesaria un concepto de cálculo infinitesimal : límite .
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por definición de representación decimal :
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que es una serie geométrica -lrb- de primer término a = 9/10 y razón k = 1/10 -rrb- :
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de esta manera , hace falta calcular el valor de la serie geométrica
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a partir de la factorización
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se tiene para x \ ne 1
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y en particular , cuando -pipe- x -pipe- < 1 , el término x ^ -lcb- n + 1 -rcb- tiende a cero , situación en la que la serie geométrica se puede evaluar :
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retornando a 0,999 … encontramos que la serie geométrica con razón 1/10 se evalúa :
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y por tanto
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como se quería demostrar .
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una demostración similar -lrb- en realidad que 10 equivale a 9,999 … -rrb- aparece ya en el año 1770 en el libro elementos de álgebra -lrb- vollständige anleitung zur algebra -rrb- de leonhard euler .
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generalización
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la prueba de que 0,9999 \ ldots en base 10 es exactamente 1 , se puede generalizar para cualquier base no necesariamente 10 .
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en base n + 1 el número 0 , nnnnnnn \ ldots es exactamente 1 .
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se puede verificar que \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- a ^ -lcb- k -rcb- = \ frac -lcb- a ^ -lcb- m + 1 -rcb- -a -rcb- -lcb- a-1 -rcb-
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entonces
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\ begin -lcb- array -rcb- -lcb- rcl -rcb- 0 , nnn \ ldots & = & n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -1 -rcb- + n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -2 -rcb- + n \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -3 -rcb- + \ cdots \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- n \ left -lrb- m + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- -k -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- n \ sum _ -lcb- k = 1 -rcb- ^ -lcb- m -rcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- m + 1 -rcb- \ right -rrb- ^ -lcb- k -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- n \ frac -lcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- ^ -lcb- m + 1 -rcb- - \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- -rcb- -lcb- \ left -lrb- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- n + 1 -rcb- \ right -rrb- -1 -rcb- \ \ & = & \ displaystyle \ lim _ -lcb- m \ rightarrow \ infty -rcb- 1- \ frac -lcb- 1 -rcb- -lcb- \ left -lrb- n + 1 \ right -rrb- ^ -lcb- m -rcb- -rcb- \ \ & = & 1 \ end -lcb- array -rcb-
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es decir que en binario 0,111 \ ldots = 1 , en octal 0,777 \ ldots = 1 , y en sistema decimal 0,999 \ ldots = 1 , etc .
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véase también
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uno número decimal periódico
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referencias
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enlaces externos
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número
